Aristarchos vydal knihu spočívající v jistých hypotézách..., že stálice a Slunce se nepohybují, že Země obíhá kolem Slunce po obvodě kružnice, přičemž Slunce leží v centru tohoto orbitu...
Archimédes
Kleanthés: Drahý Aristarchu Tvoje geometrické názory mě musí jako filosofa znepokojovat. Což nejsi žákem slavného Euklida, který sepsal a sestavil do věčného systému všechnu známou geometrii! Celá geometrie pojednává tak o jednoduchých, dále nedělitelných, objektech. Jsou to body, přímky, pravoúhelníky, kruhy, koule a podobně. Tyto věci jsou neměnné a odpovídají Platónovým ideám. Jsou tak součástí věčného božského pořádku. Jak o tom můžeš pochybovat?
Aristarchos: Ale drahý příteli, já přece vůbec nepochybuji o věčných božských pravdách. Vždyť to, co hlásám je naopak podepřeno božskou moudrostí. Podívej se jenom kolem sebe. Mraky přece nejsou koule, hory nejsou kužely a pobřeží nejsou kružnice. Ani Diovy blesky nelétají po přímkách.
Kleanthés: Dobře, v tom bych snad s Tebou mohl souhlasit, ale co Tvoje učení o tom, že věci se nám jeví stejně jak z dálky, tak zblízka. Když se ke mně blížíš, vidím nejprve jenom bod, který může znamenat cokoliv. Potom nejasnou siluetu dávající tušit člověka, leč nemohu říci, zda je mladý, starý, muž, či žena. Teprve po chvíli rozpoznám o koho se jedná a nakonec mohou počítat i Tvoje vousy.
Aristarchos: Uvaž však jinou situaci. Vypravil jsem se před časem na pouť k posvátné hoře Olymp. Z velké dálky jsem nejprve uzřel majestátní, rozeklanou, siluetu hory. Čím blíže jsem přicházel, tím více podrobností jsem rozpoznával a když jsem opovážlivě začal šplhat po úpatí, najednou jsem si všiml, že jednotlivé útesy jsou stejně rozeklané, jako se předtím jevila celá hora. Nebyly stejné, ale podobné, i když v jiném měřítku. Tu jsem dostal vnuknutí, že celý svět se řídí stejným plánem jako svatá hora a vrátil jsem se, abych toto učení šířil po celé Řecku.
Kleanthés: Ale co hvězdy na obloze, což to nejsou svítící body z Euklidovy geometrie? Nepotvrzuje se tím snad dokonale mistrovo učení?
Aristarchos: Učení svého mistra jsem nikdy nezpochybňoval, pouze jsem se snažil je doplnit. (Poněkud vzrušeně dodává.) A co se týče hvězd na nebi, podívej se jenom na jejich množství a uvaž, zda nelze mezi nimi též nalézt podobné obrazce v různých velikostech.
Kleanthés: Euklidova geometrie přece popisuje nejenom dokonalý svět platónských idejí, který se nemění, ale pomáhá přece i sochařům, stavitelům, (trochu pohrdavě) ba dokonce i vyměřovačům pozemků. Kdo jiný ví lépe nežli ty, že zlatý řez a platónská tělesa tvoří základ krásna. Vzpomeň si jenom na své staré přednášky o estetice!
Aristarchos: To přece nepopírám, snažím se jenom najít pravidla, kterými se řídí tento nedokonalý svět nazíraný našimi smysly. Vidím jasně, že předměty tohoto světa už nejsou pouhými kombinacemi ideálních platónských forem, ale jsou nekonečně složité. Podívej se jenom nad sebe, na pinii, pod níž sedíme. Jenom malé dítě by ji mohlo nakreslit do písku podobnu kuželu se stopkou. Ty však vidíš, že pinie je složitý organismus skládající se z mnoha větví a větviček, které se podobají celému stromu. Z kmene jdou velké větve, z těch zase vyráží menší, a tak to jde až k nejmenším větvičkám a přitom vidíš pořád stejné tvary. A povšimni si, prosím, ještě další podivuhodné věci. Body jsou podle Euklida ty objekty, které nemají žádný rozměr, přímky pak mají rozměr jeden, délku. Obdélník má rozměry dva a krychle tři, ale kolik rozměrů by jsi připsal včelí plástvi, která se tamhle povaluje? Nebo si vzpomeň na svůj příklad blížícího se člověka. Nejprve byl bodem a postupně přešel až v trojrozměrný objekt. Ze zkušenosti víš, že tento přechod dimenzí je zcela plynulý, z toho můžeme usuzovat, že v určité okamžiky se nám zdá jakoby měl postupně dimenze mezi jednou a dvěma a potom mezi dvěma a třemi. Ale copak je to možné, zlomkový počet rozměrů? Až se mi z toho točí hlava.
Kleanthés: A nejenom Tobě, příteli. (Trochu rozpačitě, ale rozhodně.) Nepřicházím dnes zcela o své vůli. Rada občanů našeho města mě pověřila, abych Ti vysvětlil jejich pohoršení nad názory, které šíříš a zpochybňuješ tak autoritu velkých učitelů Platóna a Euklida. Co je však horší, v samotném důsledku zpochybňuješ i božskou autoritu. Vždyť je známo, že bez vůle boží se neděje nic na této zemi, ani v posvátné étherné výši, ni v hlubinách moře, nic leč to, co konají zlí, jež nerozum vede. Vzpamatuj se tedy a opusť své nebezpečné představy!
Aristarchos: (Poněkud nešťastně) K čemu se tedy mám obrátit, když mě bohové obdařili matematickým nadáním?
Kleanthés: Což kdybys zkusil astronomii a popsal řád, kterému podléhají planety kroužíce kolem Země.
Snad nejlepším úvodem do každého vyprávění o fraktální geometrii je aforismus zakladatele tohoto oboru Benoita Mandelbrota: "Mraky nejsou kulovité, kopce nejsou kuželovité, kontury pobřeží netvoří kruhy a kůra není hladká, také blesk se nepohybuje po přímce." V těchto slovech je implicitně vyjádřena nedostatečnost klasické, euklidovské geometrie k popisu reálného fyzikálního světa.
Fraktální geometrie je geometrií tohoto reálného světa. Na rozdíl od euklidovské geometrie, využívající přímky a roviny, kruhy a koule, trojúhelníky a kužely, je základem fraktální geometrie složitost a členitost. Jednotlivé objekty již nejsou variacemi několika ideálních forem, ale vyznačují se nekonečnou složitostí: čím důkladněji je zkoumáme, tím složitější detaily můžeme odhalit.
Fraktální geometrie reflektuje skutečnost, že velké množství přírodních objektů je z hlediska pozorování tvaru nezávislých na měřítku, ve kterém je toto pozorování prováděno, a to často v rozsahu několika řádů měřicích jednotek. Např. mapy pobřeží zobrazeného v určitém měřítku vykazují značnou podobnost se zobrazeními ve větším či menším měřítku. Totéž platí pro kmen stromu, ze kterého jdou větve, z nich zase menší větve, až k nejmenším větvičkám. Nezávisle na zvoleném měřítku se před námi objevují stejné tvary. Tato invariance ke změně měřítka, zvaná soběpodobnost (anglicky “self-similarity”), není zdaleka ojedinělá, nýbrž má kořeny v iterativních mechanismech vývoje řady přírodních procesů.
Důležitým problémem aplikace euklidovské geometrie na reálný svět je otázka rozměru neboli dimenze. Předměty, s nimiž se v reálném životě setkáváme, jsou trojrozměrné (jakkoliv je účelné některým objektům pro jejich zvláštní formu přiřadit nižší efektivní dimenzi: např. listu papíru dimenzi 2, lidskému vlasu dimenzi 1 apod.). Ve smyslu této geometrie jsou však trojrozměrnými objekty pouze struktury zcela vyplněné pevnou hmotou. Klasické euklidovské míry (délka, šířka a výška) nedokáží zachytit podstatu nepravidelných tvarů. Například včelí plástev není typický trojrozměrný objekt, přestože má tři jasně definované základní rozměry. Jaký rozměr má třeba list papíru zmuchlaný do tvaru koule nebo obyčejná kuchyňská drátěnka? Navíc, naše subjektivní vnímání dimenze závisí na vzdálenosti od objektu: v povídce zmíněný příklad člověka blížícího se z dálky. Nejprve vnímáme bezrozměrný bod, posléze jakousi úsečku na obzoru, až postupně uzříme trojrozměrný objekt se stále složitější strukturou. Tento proces změn dimenzí je zcela plynulý a pozorovaný objekt není v žádném okamžiku pouze dvou- nebo trojrozměrný, ale jeho dimenze je vždy někde mezi těmito mezními hodnotami. Z tohoto pohledu funguje klasická geometrie zcela opačně, neboť její struktury se s rostoucím rozlišením formálně zjednodušují: trojrozměrný kužel přechází na dvojrozměrný trojúhelník tvořený jednorozměrnými čárami, skládajícími se z bezrozměrných bodů, přičemž uvedené změny jsou skokové, diskontinuální.
Je zřejmé, že euklidovská geometrie není dostačující ke konstrukci repliky objektu reálného světa. Může postihnout jeho základní symetrii (a vytvořit vcelku výstižné logo), ne však rozmanitost jeho struktury. Ta je dána kombinací symetrie, deterministické náhodnosti a rostoucí složitosti jednotlivých detailů. Fraktální geometrie je geometrií důlků, jamek a hrbolů, pokřivenin, spletenin a deformací. Tato nová geometrie, charakterizovaná pojmy jako “soběpodobný” nebo “soběodpovídající”, kdy každá část studovaného objektu je podobná celku, je sice rovněž určitou idealizací, jako ostatně každá část matematiky, je však daleko adekvátnějším prostředkem pro popis přírodních dějů.
Fraktály a metody jejich syntézy však svým významem přesáhly hranice čisté geometrie. Nalezly výrazné uplatnění přinejmenším ve třech různých oblastech. Prvním z nich je teoretická fyzika, kde fraktální geometrie výrazně přispěla k vývoji teorie chaosu . Druhým pak jsou metody kódování obrazů při přenosu informací. Digitální přenos obrazů vyžaduje velké množství dat a tudíž i rostoucí nároky na příslušnou techniku. Využití soběpodobného či soběodpovídajícího (self-affine) charakteru většiny přírodních útvarů, můžeme vytvářet jejich obrazy výpočty za použití jednoduchých rovnic zahrnujících příslušné transformace. Na obrázku před sebou vidíme takovým způsobem vytvořený obrázek kapradiny.*
Třetí a z našeho hlediska nejpodivuhodnější oblastí použití "geometrie důlků, jamek a hrbolů" je výtvarné umění. Už samotné fraktály vznikající iterací jednoduchých matematických rovnic představují podivuhodné grafické artefakty, např. Mandelbrotova množina. Přidáme-li do našich programů na jedné straně něco nahodilosti a na straně druhé fantazii programátora, můžeme získat celý vesmír podivuhodných krajin a pohádkových scenérií. Nemusíme k tomu ani být programátoři, stačí jenom zasednout k internetu a chvilku hledat. Za všechny popisy jeden příklad.
Fraktální napodobenina východu planety, © K. Musgrave
* David G. Green 1993, FRACTALS AND SCALE, 1993